Définitions
\(\triangleright\) Définition d'un sous-espace vectoriel:
Un sous-ensembe \(F\subset E\), s'appelle un sous-espace de \(E\) (\(F\lt E\)) si:- \(F\neq \not 0\)
- \(\forall u,v \in F | u+v\in F\)
- \(\forall u\in F,\forall\lambda\in \Bbb R|\lambda u \in F\)
Remarque:
\(F\) est aussi un espace vectorielle
\(\triangleright\) Description vectorielle d'un sous-espace:
Soit \(\{(x,y,z)|2x+y-3z=0\}\)- \(x=-\frac 12y+\frac 32z\) avec \(y,z\in \Bbb R\)
\((x,y,z)=(-\frac 12y+\frac 32z, y, z)=y(-\frac 12,0)+z(\frac 32,0,1)=P(\vec u,\vec v,0)\)
>
- \(y=-2x+3z\)
\((x,y,z)=(x,2x+3z,z)=x(1,-2,0)+z(0,3,1)=P(\vec u',\vec v',0)\)
Exemples:
\(\{\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ 0\end{pmatrix}, x_1,x_2\in \Bbb R\}\lt \Bbb R^3\)
Propriétés
\(\triangleright\) Propriétés d'un sous espace vectoriel:
- \(0_E\in F\)
Preuve: \(F\neq \not0\) Donc \(\exists u\in F| O.u\in F\longrightarrow0_E\in F\)- \(\forall u,v\in F\), \(\forall \lambda,\mu\in \Bbb R\longrightarrow\lambda u +\mu v\in F\)
\(\triangleright\) Théroème:
Soient \(F_1\), \(F_2\) deux sous-espace de \(E\)
Alors \(F_1\cap F_2\) est un sous-espace vectoriel
1)\(0_E\in F_1 \cap F_2\) \(\implies\) \(F_1 \cap F_2\neq \not0\)
- \(\forall u,v\in F_1 \cap F_2\) \(\implies\) \(u,v\in F_1|u+v\in F_1\) et \(u,v \in F_2|u+v\in F_2\) \(\implies\) \(u+v\in F_1 \cap F_2\)
- \(\forall u \in F_1 \cap F_2\), \(\forall \lambda \in \Bbb R\); \(u\in F_1\) \(\implies\) \(\lambda u\in F_1\), \(u\in F_2\) \(\implies\) \(\lambda u\in F_2\) \(\implies\) \(\lambda u\in F_1 \cap F_2\)
